初二数学竞赛系列讲座第九讲 三角形的边与角

 


初二数学竞赛系列讲座第九讲  三角形的边与角


 三角形是最基本的图形之一,是研究其他复杂图形的基础,三角形的三边相互制约,三个内角之和为定值,边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等),反映三角形的边与角关联的基本知识有:三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等,它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.

    解与三角形的边与角有关的问题时,往往要用到数形结合及分类讨论法,即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题,按边或角对三角形进行分类.

    熟悉以下基本图形、并证明基本结论:

    (1)  ∠l+∠2=∠3+∠4;

    (2)  若BD、CO分别为∠ABC、∠ACB的平分线,则∠BOC=90°+∠A/2;

(3)  若BO、CO分别为∠DBC、∠ECB的平分线,则∠BOC=90°-∠A/2;

(4)  若BE、CE分别为∠ABC、∠ACD的平分线,则∠E=∠A/2.

注:中线、角平分线、高是三角形中的重要线段,它们的差别在于高随着三角形形状的不同,可能在三角内部、边上或外部.

  代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元,运用几何知识建立方程(组)、不等式(组),将问题转化为解方程(组)或解不等式(组).

例题求解

  【例1】 在△ABC中,三个内角的度数均为整数,且∠A

    思路点拨  设∠C=x°,根据题设条件及三角形内角和定理把∠A、∠B用x的代数式表示,建立关于x的不等式组.

【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有(    )

    A.4个  B.7个    C.13个    D.60个

    (河南省竞赛题)

    思路点拨  1995=3×5×7×19,为做到计数的准确,可将三角形按边分类,注意三角形三边应满足的关系制约.

 【例3】  (1)如图,BE是∠ABD的平分线.CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的大小.

    (“希望杯”邀请赛试题)

    (2)在△ABC中,∠A=50°,高BE、CF交于O,且O不与B、C重合,求∠BOC的度数.     (“东方航空杯”——上海市竞赛题)

思路点拨  (1)运用凹边形的性质计算.(2)由O不与B、C重合知,∠B、∠C均非直角,这样,△ABC既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形,故应分两种情况讨论.

 【例4】  周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?

    (2003年河南省竞赛题)

    思路点拨  不妨设三角形三边为a、b、c,且a<b<c,由三角形三边关系定理及题设条件可确定 c的取值范围,以此作为解题的突破口.

 注  如图,在凹四边ABCD中,∠BDC=∠A+∠B+∠C.请读者证明.

解所研究的问题的图形形状不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时.往往用到分类讨论法.

【例5】  (1)用长度相等的100根火柴杆,摆放成一个三角形,使最大边的长度是最小边长度的3倍,求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数.

    (大原市竞赛题)

    (2)现有长为150cm的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长为不小于l㎝的整数.如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段. 

    (第17届江苏省竞赛题)

思路点拨  (1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x,综合运用题设条件及三角形边的关系等知识,建立含等式、不等式的混合组,这是解本例的突破口.

(2)因n段之和为定值150㎝,故欲n尽可能的大,必须每段的长度尽可能小,这样依题意可构造一个数列.



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